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定理 1 对称矩阵的特征值为实数 .证明,, 对应的特征向量为复向量的特征值为对称矩阵设复数xA.0, xxAx即, 的表示用共轭复数xAxA 则 .xxAx一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．, 的表示xx共轭复向量于是有AxxTAxxT 及AxxTxxT ,xxTxAxTT xxAT xxT.xxT两式相减，得.0xxT,0 x但因为,0, 即.是实数由此可得,0 121niiniiiTxxxxx所以定理 1 的意义.,0,0)( , 以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系数方程组线性方程组所以齐次为实数的特征值由于对称矩阵EAxEAAiii.
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